物理学四大神兽中的芝诺龟毕竟是什么？为何会引发一场危急 ...

公元前5世纪，芝诺发表了闻名的阿基里斯悖论：阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希腊神话中善跑的好汉。他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯竞走，而且假定阿基里斯的速率是乌龟的10倍。当角逐开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍旧前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍旧前于他1米……

芝诺以为，阿基里斯可以或许继承迫近乌龟，但尽不大概追上它。关于阿基里斯悖论的一个表明是：阿基里斯永久也追不上乌龟。固然实际中我们知道阿基里斯逾越乌龟非常简朴，但是它是怎样凌驾乌龟的在已往却不停存在争论。

这就是在芝诺悖论下诞生的芝诺龟，我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识，只需列一个方程就可以十拿九稳地颠覆芝诺的悖论：阿基里斯在跑了1000（1+0.1+0.01+……）=1000 (1+1/9)=10000/9米时便可遇上乌龟，并逾越乌龟。人们以为数列1+0.1+0.01+……是永久也不能穷尽的。这只不外是一个错觉。
我们不妨来盘算一下阿基里斯可以或许追上乌龟的时间为 （1+0.1+0.01+……）= t (1+1/9)=10t/9，芝诺所说的阿基里斯不大概追上乌龟，就隐蔽着时间必须小于10t/9如许一个条件。由于阿基里斯和乌龟是在不停地活动的，对时间是没有限定的，时间很轻易突破10t/9如许一个条件。一旦突破10t/9如许一个条件，阿基里斯就追上或凌驾了乌龟。

以是，人们被间隔数列1+0.1+0.01+……似乎是永久也不能穷尽的假象疑惑了，没有思量到时间数列1+0.1+0.01+……是很轻易到达和凌驾的。
这个悖论之以是会产生，是由于芝诺与我们接纳了差别的时间体系。人们风俗于将活动看作时间的一连函数，而芝诺的表明则接纳了离散的时间体系。即无论将时间隔断取得再小，整个时间轴还是由无穷的时间点构成的。换句话说，一连时间是离散时间将时间隔断取为无穷小的极限。

固然我们如今轻轻松松办理了芝诺龟，但是这个题目在汗青中实在有很长一段时间都没有被办理。由于这涉及到极限题目，而其时实数理论并没有得到美满。
什么是极限呢？我们把芝诺龟转化为数学题目，那么它的表述就酿成了某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（大概变小）的永久变革的过程中，渐渐向某一个确定的数值A不停地迫近而“永久不可以或许重合到A”，极限就是这种“变革状态”的形貌。
极限题目乃至让牛顿也栽跟头，牛顿在微积分中，对导数的界说并不严谨，好比说 x2 的导数，先将 x 取一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)^2 - x^2 ，得到 2xΔx + (Δx) ^2,后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，末了忽然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。我们知道这个效果是精确的，但是推导过程确实存在着显着的偷换假设的错误：在论证的前一部门假设Δx是不为0的，而在论证的后一部门又被取为0。那么到底是不是0呢？牛顿厥后也未能自作掩饰。

从芝诺龟开始潜躲的极限危急，在牛顿微积分“无穷小量毕竟是否为0”这个争议中掀至高潮，差点颠覆了整个数学大厦。
1821 年，杰出的法国数学家A.L.柯西出书了著作《分析教程》中熟悉到函数不肯定要有剖析表达式；他捉住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，而且界说了导数和积分。乐成地用当代极限理论来阐明导数的本质。
“当代分析学之父”魏尔斯特拉斯又用了“ε-δ”语言一举降服了“lim困难”，消除了此中不确切的地方，给出如今通用的极限的界说，一连的界说，并把导数、积分严酷地创建在极限的底子上。极限理论的建立使得微积分今后创建在一个精密的分析底子之上。

厥后，在魏尔斯特拉斯“分析算术化”活动的引领下，实数理论得到美满，给数学分析提供了精密性，极限题目得到办理，芝诺龟也被顺遂清除。


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